GRADO 6B

¿Cómo utilizar la lógica en mi entorno cotidiano?

Ejes Curriculares Período I

Proposiciones

Proposiciones simples y complejas

Conectivos lógicos

Proposiciones cuantificadas

Conjuntos

Noción de conjunto

Relaciones entre conjuntos

Operaciones entre conjuntos

Polinomios aritméticos

Desempeño

Construye proposiciones simples, compuestas y cuantificadas determinando su valor de verdad.

SESIONES DE CLASE

¿Cómo se llaman las expresiones o afirmaciones lingüísticas que pueden ser verdaderas o falsas?

Una proposición es una sentencia u oración declarativa de la cual se puede decir si es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Propósito: identifico y construyo proposiciones simples

Para representar proposiciones se usa las letras minúsculas p, q, r, s,..., entre otras, por ejemplo:

p: Ocho es múltiplo de dos                           ( V )

q: El mes de abril tiene 31 días                    ( F )

r: Cali está ubicado en el Valle del Cauca    ( V )

s: El 19 de agosto se celebra navidad          ( F )

t: 11 es un número impar                              ( V )

Proposiciones simples: las proposiciones simples son aquellas que carecen de palabras de enlace como: y, o, entonces.

p: Todos los triángulos son isósceles           ( F )

q: 8 es un número par                                   ( V )

r: 7 > 12                                                         ( F )

s: 5 es un divisor de 30                                 ( V )

Negación de una proposición: la negación de una proposición simple se obtiene anteponiendo las palabras ''no es cierto que''. Al negar una proposición se cambia el valor de verdad. El símbolo de negación es  ~

Ejemplo: negar la siguiente proposición, ''Simón Bolívar es el libertador'' y elaborar su tabla de verdad.

Negando esta proposición quedaría:

~q: no es cierto que Simón Bolívar es el libertador          ( F ) 

~q: Simón Bolívar no es el libertador          ( F ) 

Tabla de valor de verdad

Proposición	Resultado
q	V
~q	F

Concluimos que cuando q es verdadero ~q es falso y cuando q sea falso ~q es verdadero

Tabla de valor de verdad

q	~q
V	F
F	V

Actividad 1

1) Identifica las proposiciones simples y clasifica en verdadera o falsa las frases siguientes:

a) Siete es un número natural ____________

b) ¡Lave el carro! _________________

d) Cali es la capital de la República de Colombia _______________

e) 4 x 5 = 9 ____________________

f) Todo triangulo tiene tres lados __________________

g) 3 + 9 es menor que 11 ____________

h) Los recursos renovables si se puede restaurar por procesos naturales____

i) No son recursos renovables productos derivados de los combustibles fósiles ______

J) Siéntese! ___________

k) 101 es un numero par __________

2) Escribe la negación de cada una de las proposiciones dadas en el punto 1

3) Escribe 4 frases matemáticas verdaderas

4) Escribe 4 frases matemáticas falsas

5) ¿Cómo defines una proposición?

Proposiciones compuestas y conectivos lógicos

Propósito: Identifico y construyo proposiciones compuestas y reconozco el valor de verdad

Las proposiciones compuestas son expresiones que pueden descomponerse en otras que a su vez son proposiciones simples. Están unidas por palabras de enlace como y, o., si solo si, entonces, llamados conectivos lógicos.

Los conectivos lógicos son partículas de enlace usadas para unir dos o más proposiciones simples. En la siguiente tabla aparecen los conectivos lógicos con su nombre y símbolos.

Tabla de conectivos lógicos

CONECTIVO	NOMBRE	SIMBOLO
Y	Conjunción	^
O	Disyunción	V
Si … entonces	Implicación condicional	====>
…… si solo si	Doble implicación o bicondicional	<====>

La conjunción: ( ^ )

Es aquel conectivo (y) que al actúa sobre las dos o más proposiciones simples.

Para dar como respuesta el valor (V) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición compuesta son todas verdaderas de lo contrario su respuesta o resultado será (F)

Ejemplo: Se necesita una secretaria que sepa ingles y español nuevamente tenemos 4 posibilidades.

Tabla de valor de verdad

p	q	p ^q
F	F	F
F	V	F
V	F	F
V	V	V

p: la secretaria sabe ingles  q: la secretaria sabe español

*La secretaria no sabe ingles ni español

*La secretaria no sabe ingles y sabe español

*La secretaria sabe ingles y no sabe español

*La secretaria sabe ingles y español

La disyunción: (v)

Es aquel conectivo (o) que al actúa sobre las dos o más proposiciones simples.

ara dar como respuesta el valor (F) sucede cuando las proposiciones simples que conforma la proposición compuesta son todas falsas de lo contrario su respuesta o resultado será (V)

Ejemplo: Se necesita una secretaria que sepa ingles o español

Nuevamente tenemos 4 posibilidades:

Tabla de valor de verdad

p	q	p V q
F	F	F
F	V	V
V	F	V
V	V	V

p: la secretaria sabe ingles q: la secretaria sabe español

*La secretaria no sabe ingles,  no sabe español

*La secretaria no sabe ingles,  si sabe español

*La secretaria sabe ingles,  no sabe español

*La secretaria sabe ingles y español

Implicación condicional:

Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p => q, y se lee "si p entonces q".

Ejemplo:  Si va al estadio entonces paga la boleta de entrada

Tabla de valor de verdad

p	q	p ===> q
F	F	V
F	V	V
V	F	F
V	V	V

En el enunciado el componente que está entre el "si" y el "entonces" es llamado el antecedente o el implicante y el componente que sigue a la palabra "entonces" es el consecuente o conclusión .

p: Si va al estadio (antecedente)
q: paga la boleta de entrada. ( consecuente o conclusión )

Nota: El antecedente y el consecuente de una condicional pueden estar ligados de muchas maneras:

a: Si pongo la mano sobre el fuego, entonces me quemo (enlace causal).
b: gana el Deportivo Cali, entonces hacemos fiesta (enlace por decisión).
c: Si la carretera es recta, entonces es la distancia más corta (enlace por definición).
d: Si vienes hoy, entonces aún llegas a tiempo (enlace por circunstancia temporal).

Ejemplos: 

Si llueve entonces habrá cosecha
Si 3 es impar entonces 3 es menor que 6.
Si los cuerpos se calientan entonces se dilatan.
Me alegraría mucho, si me acompañaras.
Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.
Si pones atención, aprenderás más pronto.
Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes. 

Doble Implicación:

Tabla de valor de verdad

p	q	p <===> q
F	F	V
F	V	F
V	F	F
V	V	V

La equivalencia puede reproducirse cuando en la conversación natural usan "... si y sólo si ..." o "exactamente, si". La equivalencia será cierta, si ambas oraciones tienen igual valor de certeza. Ejemplo: "El nuevo año caerá exactamente en miércoles, si la noche buena cae en martes". Las formas idiomáticas equivalentes a "... si, y sólo si, ..." son: ... sólo si..., ... únicamente si ..., sólo en el caso de que ..., ... es necesario ..., si no ..., entonces no ... .

Entonces convenimos en que "p <=> q" es cierta ( V ) solamente cuando p y q tienen el mismo valor de certeza; en los otros casos es falsa. La proposición compuesta "p <=>  q" se lee "p si y sólo si q" es la conjunción de la condicional "p <=> q" con su recíproca "<=> p"

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES DOBLE IMPLICACIÓN:

a : Habrá cosecha si y sólo si llueve
b : Tendrás una buena calificación si y solo si respondes correctamente el examen

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Un cuantificador es una expresión que permite determinar cantidad en una proposición.

Por ejemplo, en la proposición todos los animales mamíferos son vivíparos, la expresión todos determina la cantidad de mamíferos que son vivíparos.

En matemáticas se utilizan como cuantificadores las expresiones todos, algunos, ninguno, no todo, sólo uno.

La expresión para todo se denomina cuantificador universal.

La expresión existe algún se denomina cuantificador existencial.

EJEMPLOS

Leer las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, explicar el significado de cada una y dar su valor de verdad.

a. Todas las plantas son medicinales.

Significa que no hay plantas que no sean medicinales. Este expresión es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

b. Algunos números son pares.

Significa que hay otros números que no son pares. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

c. Sólo en la tierra hay vida.

Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresión es una proposición en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

d. Uno de los mamíferos es la vaca.

Significa que hay otros mamíferos. Esta es una proposición con cuantificador existencial y su valor de verdad es verdadero.

e. Unos peces viven en el agua.

Significa que hay otros peces que no viven en el agua. En esta proposición se utiliza el cuantificador existencial y su valor de verdad es falso.

f. Ningún estudiante tiene más de 18 años.

Significa que todos los estudiantes tienen menos de 18 años. Esta es una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal y su valor de verdad es falso.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

La negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a su vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el cuantificador existencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador universal.

EJEMPLOS

Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, simbolizar la proposición y la negación.

a. Todos los números naturales son impares

Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar

¿Cómo sería la escritura simbólicamente?

b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.

Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4

¿Cómo sería la escritura simbólicamente?

A continuación les dejo un par de videos para retroalimentar el tema de proposiciones cuantificadas.

Tarea: Escribe un comentario sobre el tema de proposiciones cuantificadas y deja un ejemplo.

¿Cómo se llaman las agrupaciones de objetos con características comunes?

A la colección o agrupación de objetos denominados elementos se le llama conjunto.

Propósito: realizar y representar gráficamente operaciones entre conjuntos

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.^[1] Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

SUBCONJUNTOS

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

                                 Operaciones con conjuntos 

• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.

• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.

• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B
  

• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
  

• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.
  

Ejemplos

• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
  

• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
  

• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}
  

• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
  

• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
  

Actividad 2

1) ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos A={e, x, i, t, o} y B={t, r, i, u, n, f, o}?

2) Representa la unión de los conjuntos C={e, x, i, t, o} y D={t, r, i, u, n, f, o}

3) Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos:

A={l, u, n, a} y B={t, r, i, u, n, f, o}

4) Obtener la diferencia A\B si A={c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

5) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?

a) A={x I x es día de la semana}

b) B={vocales de la palabra conjunto}

c) C={1, 3, 5, 7, 9,. . . . .}

d) D={x I x es un número par}

e) E={x I x < 15}

f)  F={x I x es la solución de y(x)=IxI}

Ahora le adjunto un par de videos que tratan el tema de operaciones entre conjuntos.

Tarea: Observa los videos y deja un comentario acerca de ellos. Luego, en tu cuaderno escribe tu propio ejemplo sobre las operaciones que se trabajaron en los videos y los presentas en la clase del dia jueves.    

Niños aquí les dejo el taller de la clase por favor trabajarlo y en la clase del jueves lo socializamos.

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Niños aquí les adjunto el taller 1, por favor descargarlo y llevarlo a la sesión de clase. Muchas gracias.

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TALLER 1