GRADOS 8A 8B

¿De qué forma puede relacionar los diferentes conjuntos numéricos en su quehacer cotidiano?

Ejes Curriculares Período I

Conjuntos numéricos
Números reales
Expresiones algebraicas

Desempeño

compara las características de los diferentes sistemas numéricos y los aplica a situaciones del entorno a través de la realización de diferentes ejercicios propuestos en clase.

SESIONES DE CLASE

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es la colección o agrupación de objetos llamados elementos.

Propósito: caracterizar la noción de conjunto

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.¹ Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

A = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Subconjuntos

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Operaciones con conjuntos 

• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.

• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.

• Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B

• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.

• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.

Ejemplos

• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}

• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}

• {5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}

• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}

• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
  

Niños les adjunto algunos de los videos que tratan el tema de los conjuntos y sus operaciones.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

En matemáticas se trabaja con diferentes conjuntos de números los cuáles están dotados de operaciones y sus elementos satisfacen ciertas propiedades.  Los conjuntos numéricos surgen a partir de necesidades específicas. Así, los números naturales se crearon  partir de la necesidad de contar, los enteros se usan para indicar deudas y ganancias, los racionales permiten representar partes de un todo, y los irracionales sirven para expresar la medida de ciertos elementos como la diagonal de un cuadrado. A continuación, te presento la clasificación de los números.

Propósito: conocer algunas características de los diferentes conjuntos numéricos.

NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números reales es denso, esto significa que entre dos números reales siempre existe otro número real. Al ubicar los números reales en la recta numérica, se establece una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta numérica, de tal forma que a cada punto de la recta le corresponde solamente un punto de la recta numérica. Por esta razón, a la recta numérica se le denomina recta real.

Propósito: caracterizar el conjunto de los números reales.

NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES

¿Qué son los números reales?

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:

 El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:

- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar

= {1, 2, 3, 4,...}

-  Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.

-  El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros. 

Ejemplo: 

 

= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

- El conjunto  de los Números Irracionales (I)  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

Propiedades

Propiedades de la suma

a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

∀ a, b ∈ R : a + b ∈ R

Ejemplo: 

2 ∈ R,  4/5 ∈ R →  2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R

-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R

b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:

(a + b) +c =  a + (b + c) 

Ejemplos: 

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033

c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ a, b ∈ R : a + b = b + a

Ejemplos:

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3
 

15,87∈ R, –2.35 ∈ R   →15.87 + (–2.35) =  –2.35 + 15.87  

d) Existencia del elemento neutro aditivo:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. 

∀ a ∈ R, 0 + a = a + 0 = a 

Ejemplos: 

0 + 13 = 13 + 0 = 13 

8763.218 + 0 = 8763.218

0 + (–56.41) = –56.51

e) Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso:

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0.

a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R

Ejemplos:

10 + (-10) = 0

2/7 + ( -2/7) = 0

87.36 + (–87.36) = 0

–4.13 + 4.13 = 0

Propiedades de los reales en la resta o sustracción

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.5

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.5

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.3

d) Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

e)  Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Ejemplo:

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3 

f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:

La resta no es una operación conmutativa:

Ejemplo:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

a) Propiedad interna:
El producto de los números reales, es un número real.

∀ a, b ∈ R→ a • b ∈ R

Ejemplos:

4 • 9 = 36 ∈ R

 3/4 • 5/7 = 15/28  ∈ R

b) Propiedad asociativa:

Esta propiedad dice que cuando se multiplican tres reales dados o más, el resultado es el mismo independientemente de como se agrupen y se multipliquen.

Si a, b, c, ∈ R   → (a • b) • c = a • (b • c) 

Ejemplos:

2 • (3 • 4) = 24  → (2 • 3) • 4 = 24  

c) Propiedad conmutativa:

De acuerdo con esta propiedad, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo.

Si a, b ∈ R →  a • b = b • a

Ejemplos:

3 • (-8) = (-8) • 3

(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) •  (-2 / 3)

d) Elemento neutro multiplicativo:

De acuerdo con esta propiedad de los números reales, el producto de cualquier número real con elemento neutro o de identidad "1" es el mismo número real. 

a • 1  = a

Ejemplos: 

1/2 • 1 = 1/2

(−5) · 1 = (−5)

e) Propiedad distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a • (b + c) = a •  b + a •  c

Ejemplos:

π • ( 7/3 + 0,5) = π •  7/3 + π • 0,5

(−2) •  (3 + 5) = (−2) •  3 + (−2) •  5 

f) Elemento inverso u opuesto

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad. 

a • (1/ a ) = 1 

Ejemplos:

5 (1/5) = 1 

π (1 / π) 

g) Factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. 

a • b + a • c = a • (b + c)

Ejemplos: 

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5) 

π • 3/5 + π •  0.3 = π • (3/5 + 0,3)

Propiedades de la división

- La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado también cambia.

Ejemplos:

10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2

40:8 = 5 pero 8:40 = 0,2

- La división No es asociativa: (8 ÷ 4) ÷ 2 =  1   pero  8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

- Cero dividido entre cualquier número da cero 0: 4 = 0
- No se puede dividir por cero 8:0= no existe

- Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.
- El cociente no varía si se multiplica o se divide tanto el dividendo como el divisor por el mismo número. (amplificación o simplificación)

-  La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).

-  Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro número real.

Los números racionales, cuando se escriben como números decimales, son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su representación en la recta numérica, los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los espacios dejados por los racionales en la recta numérica.

Tomado de www.portaleducativo.net.

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

Ahora consideremos algunas de las operaciones que se pueden efectuar con los elementos del conjunto de los números reales.

Niños escriban toda la información anterior en el cuaderno, pues la parte teórica es de gran importancia en el desarrollo del tema de los números reales.

Niños por favor dejen un comentario sobre el tema de los números reales. Y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas ¿cuál es la importancia de este conjunto en nuestra vida diaria? ¿cuáles son los subconjuntos de los números reales? Dar ejemplos.

En clase se socializarán las respuestas.

Adjunto el taller 1. Por favor descargarlo y desarrollar cada uno de los puntos. Los estudiantes de 8A lo deben entregar resuelto el viernes 16 de marzo, y los estudiantes de 8B lo deben entregar resuelto el martes 20 de marzo. Muchas gracias.

ARCHIVO PDF
TALLER 1

Niños les dejo otros videos donde se trabaja las operaciones combinadas con números racionales.